Depart du locataire et entrée du nouveau

Bonjour,

Je suis propriétaire d'une villa que je loue.
Le présent locataire a donné son préavis que se termine le 31/12/2011.
Ayant de bonnes relations avec lui, il m'a demandé s'il pouvait laisser quelques meubles jusqu'au début janvier 2012.
Aujourd'hui, le nouveau locataire souhaite prendre la villa dès son arrivée c'est à dire le 8 janvier 2012.
Comme il arrrive seul et que sa famille ne le rejoint que le 18, je ne pense pas que ceal soit un frein pour lui.
Par contre, j'ai 2 questions :
ma question est de savoir qui paie le loyer de janvier
La 1ere : Faut-il le proratiser dans ce cas ou faire payer une indeminité au locataire sortant pour ses meubles
Cette situation de lui garder les meubles est risquée car s'il arrive quelquechose (incendie) il ne pourra prétendre à rien.
La 2ème : comme le préavis se termine le 31/12, si le locataire sortant garde quelques jours la maison, est-ce que je dois lui faire un avenant pour cette occupation prorogée. Qui est redevable de la taxe d'habitation dans pareil cas, sachant que le locataire actuel ne sera plus physiquement dans la maison mais ne laissera que quelques meubles (à ses risques et périls).
Est ce que je peux anticiper les choses avant que les impôts sortent, auprès du centre des impôts en précisant que le locataire actuel a quitté le 31/12 et que le nouveau locataire a pris la villa le 8/01/2012 ?

Merci pour vos précieuses réponses.