Abandon de poste et licenciement

Bonjour,

Voilà depuis bientôt deux mois j'ai posé arrêt maladie sur arrêt maladie ( 3 au total ) pour dépression, ne voulant pas être au chômage je me suis empressé de trouver un autre emploi beaucoup moins stressant etc ... bref la situation est tel que depuis bientôt un mois je n'ai ni renouvelé mon arrêt maladie , ni été a mon travail , je n'ai plus donné de nouvelles... deuxième chose étant donné que j'attendais la réponse et la promesse d'embauche de mon futur employeur j'ai tardé a poser ma démission sachant que je dois un mois de préavis selon ma convention et que je dois intégrer mon nouveau poste dans moins d'un mois ... je n'ai pas démissionné, je n'ai pas répondu aux appels depuis un moi , j'ai reçu en tout 2 lettres d'avertissement pour absence injustifiée a un mois d'intervalle : voila donc la situation actuelle.
Ma question du coup est : si je travaille ailleurs un peu avant mon licenciement est ce grave ? est ce que je risque d'être "hors la loi" ? en matière de solde tout compte , est ce que je peux espérer en bénéficier sans avoir a faire de près a mon entreprise ? et enfin est ce que tout ceci peut me porter préjudice avec mon nouveau travail ?
Merci d'avance pour vos réponse ,

P.S je précise que j'ai signé les recommandés et qu'entre les deux j'ai eu mon chef au téléphone pour contester le premier qui est survenu après avoir envoyé mon dernier arrêt maladie.