Pas accord CDI mais impossibilité de rupture

Bonjour à tous,

Je me tourne vers vous car je me trouve dans un situation particulière avec mon employeur actuel et j'aimerais que vous m'éclaircissez le dilemme.

Je viens de faire 6 mois d'interim (contrat finissant fin juin), suite à ce contrat on m'a proposé un nouveau contrat d'Interim que j'ai refusé.
Suite à mon désaccord, mes employeurs m'ont proposé un CDI (sans période d'essai). J'ai stipulé, par oral, que ce contrat m'allait sauf désaccord concernant les mentions stipulées sur le contrat. Le contrat de travail m'a été fourni la veille de la date de début d'embauche.
2 jours plus tard, j'ai stipulé que certaines fonctions ne correspondaient pas à mon poste, j'ai donc indiqué que je ne signerais pas le contrat en l'état. Lorsque j'ai demandé si je partais ou pas, on m'a indiqué que je pouvais travailler normalement jusqu'aux nouvelles discussions.
Le 5ème jour (après m'avoir fait patienter toute la journée), on m'a stipulé que le contrat ne changerait pas, j'ai confirmais mon refus. A ma grande surprise j'ai alors appris que j'étais en CDI et que ceci correspondrait peut être à une démission car j'ai travaillé 5 jours chez mon employeur sans contrat de travail.

Pouvez-vous m'éclairer sur ma situation, refus le contrat proposé mais départ possible serait par une démission (ce dont je n'ai pas envie)?

Merci de vos lumières