PROBLEME TRANSFERT DE BAIL SUITE A SEPARATION

Bonjour,

Je suis actuellement en séparation d'avec mon concubin et nous sommes tout deux locataires de notre logement.
Depuis 4 mois je ne pouvais pas participer aux paiements des loyers étant sans ressources.
Hier il m'a annoncé qu'il était prêt à partir de ce logement (chose qu'il refusait depuis 1 mois maintenant sous prétexte qu'il paye le loyer).
Ce matin j'ai donc pris la décision d'appeler le bailleur afin qu'il m'indique la procédure à suivre en cas de modification de bail dans le cadre d'une séparation et ils m'ont indiqué qu'il fallait un courrier de justificatif et divers documents de sa part.
Je l'appelle tout de suite pour l'informer de cette marche à suivre et il me rétorque qu'il a téléphoné de son côté et qu'ils lui ont notifié que si il partait, il resterait solidaire des loyers impayés si il y avait et donc il refuse de faire ce transfert de titulaire du bail.

Je trouve ça personnellement idiot comme procédure puis nous n'avons même pas été mariés et surtout que dès notre séparation je pourrais prétendre à différentes aides financières.

Je voulais savoir si cette clause existe réellement ? Si oui, est-elle valable quelle que soit la situation (mariés ou concubins) ?

Aidez moi svp car là je sèche et il menace de donner une préavis pour ce logement et je risquerais de me retrouver à la rue avec ma petite fille âgée de 16 mois ayant tout juste trouvé un travail et n'ayant pas de famille dans la région !

Merci d'avance ;)