Détachement FPH litige sur date

Bonjour,

Je suis titulaire de la fonction publique hospitalière (FPH) et j'ai demandé un detachement dans la fonction publique territoriale (FPT) au Conseil Général.

Le Conseil Général a demandé mon détachement en date du 9 septembre.
L'Hopital m'accorde mon détachement en date du 1 septembre.

Le CG ne pouvant absolument pas m'accueillir avant le 9/9, pour une question de passage de mon dossier en commission (pour pereniser mon embauche) qui aura lieu le 8/9.
L'hopital ne veut rien entendre et me demande de partir le 1/9, quitte à ne pas travailler pendant 9 jours, comme un congé sans solde, ce que je ne peux financièrement pas me permettre.

Ont ils le droit de m'imposer cette date de départ?
Un détachement étant un changement/ un transfert de fonction publique, mais sans rupture de contrat / fin de contrat, ne devrais-je pas enchainer mon départ de l'hopital et mon arrivée au CG ?

Merci d'avance de vos réponses.