Résiliation de bail pour cause de mutation

Bonjour,

Je suis actuellement locataire et je vais déménager, cause mutation.

J'ai donné mon préavis de résiliation de bail à mon agence le 24 avril. La durée de préavis est de 3 mois.
Par la suite, j'ai appris qu'en cas de mutation professionnelle, le délai était réduit à 1 mois... j'ai donc contacté l'agence pour leur en avertir.
L'agence m'a demandé une lettre officielle de ma mutation de la part de mon employeur. Je l'ai reçu le 13 mai, et je leur au apporté le 18 mai.

Maintenant, l'agence veut que je reste jusqu'au 18 juin, date à laquelle j'ai déposé la lettre de mon employeur à l'agence.
Mais je ne l'entend pas de cette façon, car dès le départ, j'ai dit à l'agence que je souhaitais quitter la location le 1er juin (vu j'ai déja payé le mois de Mai complet).

Que dois-je faire? Est-ce l'agence qui a raison?
merci de vos aides, c'est assez urgent !

Loïc