Travail en l'absence de CDD écrit

Bonjour,

Je me trouve confronté à une situation peu rassurante. Je suis arrivé dans une entreprise. Après une formation devant débouché sur un CDI, je suis finalement embauché en CDD. Cependant, voilà un mois que je travail, j'ai d'ailleurs reçu mes salaires et je suis déclaré à l'assedic, mais je n'ai toujours rien signé et je n'ai aucun contrat écrit. Par ailleurs je ne connais pas non plus la durée de mon CDD ni même le motif de celui-ci (aucun ne me semblant pertinent concernant mon entreprise qui m'a parlé d'un accroissement temporaire d'activité... en cette période...).

J'ai entendu dire qu'il était possible que le contrat soit requalifié automatiquement en CDI au bout de 2 mois, mais je n'en suis pas certain. Mon employeur, avec qui j'entretiens des rapports tout à fait cordiaux, m'a confirmé qu'il me ferait mon contrat, mais ça fait déjà un mois et ça ne semble pas l'inquiéter. Par contre, je me demande où en est ma situation actuelle. Suis je couvert si j'ai un accident du travail un jour ? Quand commencera mon CDD ? Est ce finalement un CDI ?

Merci à tous pour les réponses que vous pourrez m'apportez ! Bonne journée.