Qui doit payer mes allocations chômage : Pôle Emploi ou le service public?

Bonjour,

Je fais appel à vous car je me retrouve dans une impasse.
Ma situation :
2014-2016 : 23 mois d'emploi dans le secteur public
2016 : chômage de 12 mois indemnisé par l'employeur secteur public
2017-2019 : 27 mois d'emploi dans le secteur privé
Je suis inscrite chez pole emploi depuis le 21 décembre 2019 à la suite de la fin de mission d'intérim.

Aujourd'hui, pôle emploi et le secteur public se renvoient la balle concernant mon indemnisation.
Pôle emploi affirme que c'est le secteur public qui doit reprendre mon indemnisation, je n'ai donc aucun droit d'ouvert auprès d'eux.
Le secteur public me dit que c'est pôle emploi qui doit prendre en charge mon indemnisation car sur les 36 derniers mois, j'ai travaillé 27 mois dans le secteur privé.

Pôle emploi m'a donné une fiche de liaison dans laquelle l'employeur public atteste qu'il me reste 12 mois de droits chez eux mais que c'est à pôle emploi de reprendre mes droits car j'ai travaillé plus dans le secteur privé que public.

A ce jour je sais pas quoi faire pour toucher mes allocation. Pouvez-vous m'aider ?

Je vous remercie beaucoup.