Je souhaite changer de banque

Bonjour à tous
Je vous explique mon cas. Depuis ma naissance, j'ai mes comptes à la caisse d'epargne. Il y a 15 ans environ, ma conseillere de l'epoque m'a conseillé de souscrire au service futéo, un service pour les 18-25 ans. Ce que j'ai fait. Depuis tout allait bien. et pendant 10 ans je n'ai jamais eu de contact avec mon conseiller
Là il y a quelques jours, je reçois un coup de fil de mon nouveau conseiller qui me fit remarquer que vu mon age (j'ai 34 ans maintenant), je ne pouvais plus beneficier de ce service (il serait temps qu'il s'en rende compte, ca fait 9 ans que j'ai dépassé l'age), et qu'il voulait me rencontrer pour voir ce qu'il pouvait me proposer.
J'ai fait des recherches pour voir si d'autres banques etait plus interessantes et je suis tombé sur "monabanq"
J'aurais aimé savoir comment ce passerait le transfert entre les 2 banques. Sachant que j'ai à la caisse d'epargne: un compte courant, un livret A, un LEP et un PEL de plus de 10 ans
Est ce que la nouvelle banque peut s'occuper de tout transferer ou est ce que c'est moi qui doit tout cloturer à la CE et tout transferer.
Merci