Compensation loyer après hébergement

Bonjour à tous,

J’aurais une question à vous soumettre :

J’ai hébergé l’ami d’un ami durant presque un mois qui se retrouvait à la rue suite à des problèmes personnels.
Nous nous étions entendus sur le fait qu’une compensation financière me serait due en fonction du nombre de jours où il resterait chez moi.

Aujourd’hui, je n’ai plus de nouvelle. Après s’être faite hébergée, la personne en question est retournée vivre avec son ancien colocataire avec qui il s’était disputé. Raison pour laquelle il avait été mis à la rue.

J’ai du mal à trouver une base juridique sur laquelle je pourrais m’appuyer afin de lui notifier le montant qu’il me doit par recommandé.
Pour compliqué la chose, tout s’est fait à l’oral. J’ai des témoignages mais cela ne reste que des témoignages.

Merci d’avance pour votre réponse,

Bonne journée à vous