CAE CDD, rester inscrite demandeur emploi ?

Bonjour,

Je suis en contrat CIVIS avec la mission locale jusqu'à la veille de mes 26 ans soit le 23 octobre. Du coup je suis elligible au CAE.
Je commence un CAE CDD demain pour une durée de un an.
J'ai signé la partie CAE avec mon employeur au Pole emploi il y a un mois et la partie CDD hier.
Dois-je restée inscrite comme demandeur d'emploi pour que mon employeur puisse bénéficier des avantages du CAE ? Sachant que mes droits se terminent le 25 septembre de cette année et que je n'aurai pas de complément d'assedics ni le droit à l'ASS (car travaillé moins de 5 ans), ni le RSA car pacsée.
J'ai galeré pour avoir qqun au 3949, et les réponses ne sont jamais les mêmes....

J'ai besoin de votre aide s'il vous plait.