Double nationalité et garde d'enfants

Bonjour Maître


Depuis un an je cherche des informations pour m'éclairer sur les démarches que je dois faire en France mais je ne trouve pas.

Je me permets de vous exposer mon cas rapidement, peut être que vous auriez la gentillesse de m'éclairer ou de me guider dans les démarches que je doit entreprendre :

Je suis français d'origine libanaise, mon ex-épouse aussi.
Tous les deux double nationalité.

Nous étions mariés (en 1996) sous le régime islamique au Liban, puis le mariage a été transcrit en France.

Nous habitions en France et on a eu deux enfants mais Madame est partie vivre au Liban en 2004.

Mon fils âgé de 14 ans vit avec moi en France (il est à ma charge complètement), ma fille de 8 ans vit avec sa mère (elle est à la charge de sa mère complètement).

Nous avons divorcé en 2008 au Liban (puis divorce transcrit en France à Nantes) , mais le texte du divorce ne mentionne pas le sort des enfants car celui-ci selon la loi islamique est implicite (le garçon vit avec le père après l'âge de 7 ans et la fille après l'âge de 9 ans).

Ceci me pose un problème en France, je ne peux pas faire des démarches administratives à la mairie pour demander un passeport
à mon fils car ils me demandent si j'ai la garde de l'enfant.

Ma question : que dois-je faire pour régulariser la situation? Dois-je aller voir un JAF en France ou au Liban pour fixer la modalité de la résidence des enfants et faire l'exequature ?
Le JAF en France serait-il compétent pour fixer la résidence des enfants (le garçon en France et la fille au Liban)?
Mon ex-femme a-t-elle le droit de me réclamer une pension alimentaire pour ma fille qui vit avec elle?
Je ne compte pas arracher la fille à sa mère, mais je ne veux pas lui payer une pension pour deux raisons : d'abord parceque c'est
madame qui a fait le choix de partir au Liban et ensuite pour que je puisse continuer à aller voir ma fille au Liban avec mon fils (achat des
billets d'avion et dépenses sur place , etc...)

Voilà Maître, je vous remercie d'avance pour votre aide, si vous pouvez m'apporter de l'aide sur ma situation

Cordialement.