Lettre preavis demission probleme changement de date

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Bonjour, j’aurai besoin d’une reponse suite a une situation delicate j’explique ma situation ci dessous. 

J’ai décidé de démissionner de mon travail, car j’ai eu une meilleure opportunité ailleurs.  J’ai fait une première lettre de démission en stipulant qu’au 13 juillet, je souhaitais arrêter le 13 août soit un mois de préavis. J’ai envoyé ma lettre par recommandé, puis deux jours après je me suis fait convoquer au bureau par RH qui m’a dit qu’il ne pouvait pas accepter ma lettre de démission car elle n’était pas bonne. Car le préavis n’est pas de un mois mais de 15 jours 
Elle m’a donc dit de refaire la lettre a la bonne date pour que ca fasse 15jours sois arretez le 13 aout.  

Sauf que après, réflexion finalement je ne souhaitais pas arrêter le 13 mais le 9 août, Car je commence le nouveau travail le 26 août août, et que je voulais me prendre une semaine de vacances enfin une semaine «  de chomage » vu que j’arrete mon preavis le 9 aout 

Du cou j’ai refait une lettre de preavis en date du 22 juillet pour arretez le 9 aout sauf que dans mon preavis je n’ai pas comptez les samedis et dimanches et que donc cela ne fais pas 15jours mais plus

De ce fait j’ai envoyez un mail a la RH pour lui demandez si il fallait dans mon preavis comptez les samedi et les dimanche car j’avais un doute etant donnez que mon contrat je travail du lundi au vendredi. Je signale que je n’avais jamais fais de lettre de demission avant celle ci.  Je n’ai recu aucune reponse de sa part. Etant en horaire de nuit et elle de journee je ne communiquez que par mail et non en face en face. Sauf la fois ou j’ai etait convoquer au bureau mais horaire n’etais pas encore passer de nuit. Changement d’horaire suite au JO de Paris. 

De ce fait je renvoie un autre mail toujours pas de reponse. Le lendemain encore un mail pas de reponse.

Et la a ma grande surprise cet apres midi je reçois un e-mail, me disant que ils ont bien reçu ma lettre de démission et que je ne serai plus dans leurs effectifs à partir du 5 août. Or ce n’est pas ce que j’ai mis dans ma lettre de démission. J’ai mis que je voulais arrêter le 9 août, car j’ai fait mes calculs pour pouvoir toucher mes congés payés qu’ils me doivent ainsi que que les jours jours que j’aurai fait dans le mois pour pouvoir avoir une paye complète en fait. 

je renvoie donc un mail en disant que je n’ai pas dit que je voulais arrêter le le 5 mais, le 9 août, et on m’a répondu, que ils avaient droit de changer la date de préavis, sans en avertir le salarié

Ma question est la suivante 
Ont t’il le droit de faire cela ? Comment faire pour avoir gain de cause et finir le 9 aout comme j’avais demandez de base ? Que dois je faire ? Est ce légale ?

Il m’ont appellez pour la premiere lettre dans ce cas pourquoi ne pas avoir changez la date dans la 1ere lettre et ce permettre de la faire dans la 2ieme comme ca les arrangent ?

J’espere que quelqu’un saura me repondre
Merci et que c’est assez clair niveau explication