Licenciement après refus réduction horaire de travail

Bonjour,
Depuis 6 mois j'ai établi un contrat de 6 heures par jour avec une aide à domicile pour ma mère, une dame en fauteuil roulant pas autonome.
Depuis 3 mois, j'ai demandé à ma salariée de travailler seulement 3 ou 4 heures par jour, à cause de la dégradation de l'état de santé de ma mère, et malgré cela je l'ai payé pour son temps complet.
Après un arrêt de travail pour une forte lombalgie, ma salariée m'a annoncé ne plus pouvoir effectuer des transferts établis par contrat.
J'ai donc demandé à ma salariée de formaliser la réduction de l'horaire (et du salaire) à 3 heures par jour et j'ai lui ensuite adressé une proposition formelle de réduction de l'horaire de travail de 6 à 3 heures, qu'elle a refusée, me demandant un licenciement économique.
J'aimerais savoir tout d'abord si dois-je entamer une procédure de licenciement ou une rupture conventionnelle et quel avantage aurais-je (ou aurait-elle) avec un licenciement économique?
A qui dois-je m'adresser pour connaître les modalités de rupture du contrat de travail, la procédure de licenciement, le préavis et les indemnités, sachant que je l'ai toujours payée avec le CESU sans majoration du 10% ?
Merci d'avance pour votre aide et pour toute suggestion possible.
Cordialement,