Prolonger un bail après congé

Bonjour,
j'ai donné congé à mon locataire pour reprise de l'apt pour mon fils. Actuellement , vu que les 6 mois sont passés, je lui donne une attestation d’indemnité d'occupation à la place de la quittance de loyer. Le locataire veut prolonger le bail pour 4 mois par ce que il n'a pas trouvé un autre appartement et la caf lui demande un contrat en cours de validité pour qu'il puisse bénéficier de l'apl (d'après ce qu'il dit vrai ou faux, je ne sais pas). ma question est:
Est ce que je peux signer avec lui un contrat contrat de location pour quelques mois ou un avenant pour prolonger le contrat ou autre chose?? je ne sais pas quoi faire Merci
cordialement
lilkra