Pas de signature de contrat temps partiel et démission

Bonjour,
Après avoir travaillé plusieurs mois en intérim pour une entreprise, celle ci m'a proposée un contrat cdi à temps partiel. 48 heures après mon embauche, j'ai réclamé mon contrat de travail ainsi que les documents concernant les avantages salariaux (mutuelle, comité d'entreprise...) car je n'ai eu aucun entretien d'embauche ou autre renseignement; les responsables n'ont affirmé que tous les documents avaient été envoyés par la poste ,que ma paie de juillet serait reportée sur le mois d'août et que je pouvais avoir une avance sur salaire si besoin.
Un mois plus tard, (eh oui, j'ai travaillé un mois sans contrat ni fiche de paie ni salaire), après relances, j'ai reçu les documents en AR un vendredi.
Le lundi suivant, j'ai signifié par mail que je déclinais cette embauche car les avantages salariaux ne me convenaient pas.
L'employeur me demande alors une lettre de démission.
Dois-je faire cette lettre malgré qu'il n'y ait pas eu de signature de contrat ? L'employeur peut-il exiger un préavis? L'employeur peut-il refuser de payer le mois de travail ? Est ce que je peux retravailler de suite ou dois je attendre ?

Merci d'avance