Acheter avec un cdi sans période d'essaie

Bonjour,

Je vous remercie d'avance pour le temps que vous accordez à la lecture de mon petit pavé.

Je travaille depuis 7 mois dans une entreprise mais je n'ai pas encore signé mon contrat. J'ai appris récament que j'ai remplacé pendant mes premières 6 mois une "collègue" partie en congé maternité qui avait annoncé dès son départ qu'elle ne comptait pas revenir donc les patrons qui étaient au courent m'ont proposé directement un CDI.
Entre temps j'ai fait une simulation de crédit immobilier auprès de ma banque et j'ai signé un compromis.

La banque me demande seulement les fiches de paie qui sont conformes à un CDI sauf que manque de bol, l'entreprise me fait savoir que finalement pendant les 6 premiers mois j'étais en CDD.

Du coup, sachant qu’aujourd’hui je suis en CDI depuis seulement 1 mois mais que je n'ai plus de période d'essaye et j'ai même eu une augmentation (ça c’était pour que la mauvaise nouvelle passe mieux) pensez vous que mon projet peut avoir un avenir?

Je vous remercie pour vos retours.