Comment rompre la période d'essai et avoir le chômage

Bonjour,

Je vous écris car je me trouve dans un situation un peu sensible: le 25 mai j'ai quitté un CDI après avoir négocié une rupture de la période d'essai à l'initiative de l'employeur (pour que j'aie droit au chômage).

J'ai recommence un autre CDI le 6 juin, mais les conditions ne me conviennent pas, car il y a des tâches qui n'étaient pas inscrites dans le contrat + l'ambiance dans l'équipe est mauvaise. Je n'ai toujours pas signé mon contrat même si je travaille depuis 2 jours. Je l'ai reçu pour que je le lise à la maison mais je ne l'ai pas signé. Je suis déclarée chez URSSAF. Si je démissionne je n'aurai pas droit au chômage, cela je le sais. Le fait de ne pas avoir signé mon contrat joue-t-il en ma faveur: pas de signature de contrat, pas de démission?
Comment faire pour que l'employeur rompe la période d'essai et qu'il écrive sur l’attestation UNEDIC que c'est une "rupture de la période d'essai à l'initiative de l'employeur"? Ne plus me présenter?

Merci et bonne journée.