Fin de contrat Contrat Emploie Avenir

Bonjour,
Je suis actuellement en fin de contrat Emploie Avenir en milieu Hospitalier Public, on ma dit un mois et demi avant la fin de mon contrat qu'il n'aller pas me reprendre, donc je décide de faire des recherches, entre deux l'hôpital me redonne toute mes heures supplémentaire, je postule au offre sur pôle emploi et obtient un entretien dans une maison de retraite privé pour 10 mois, mais a l'hôpital il me rappel me dise si je remplace les arrêts il me referont un contrat pour août n'ayant pas de réponse de la maison retraite privée j'accepte donc mon compteur d'heures augmente,
n'ayant rien signé des deux côtés je décide de prendre le contrat de 10 mois en maison de retraite. la réponse de la maison de retraite est positif je commence le 11 août,

Mais la question concerne l'hôpital, le contrat du mois d'août étant fait n'ayant pas signé, je leur dit que je préféré partir, car j'ai trouver a une autre place, avec le délais que je leur doit avant la fin de mon contrat,
es que ils ont droit de me demander de faire une lettre de démission qui prendra effet le 10 août en me disant "que c'est pour pouvoir récupéré mes heures supplémentaire qu'il ont mis sur le planning d'août" et après il me demande de signé le contrat d'août du 1er au 31 août toujours en me disant "que c'est pour pouvoir récupéré mes heures supplémentaire qu'il ont mis sur le planning d'août, si non je serai pas payer" ?

Ps: j'espère avoir était claire dans mon explication.

Merci au personne qui m'éclaireront.