Que dois je payer ??

Rien du tout.
La taxe d'habitation est due par l'occupant au 01/01.
il ne peut légalement vous demander de payer un prorata.

Le seul prorata possible concerne la taxe d'enlèvement des ordures ménagères.

Concernant les meublés , deux cas pour le redevable de la taxe d'habitation :

si le meublé est temporaire ( bail < à 1 an ), la taxe est due par le propriétaire
soit sous forme de taxe d'habitation si s'en garde la jouissance une partie de l'année ( même si loué au 1er janvier ) soit sous forme de la CFE ( ex taxe professionnelle ) si loué en permanence pour des durées courtes ( arret du conseil d'Etat du 30.11.2007 n°291252)

si le meublé n'est pas d'une durée " précaire" : la taxe est due par l'occupant au 01/01

Vous ne devez payer qu'une taxe d'habitation adressée à votre nom en provenance de l'administration fiscale.
D'ailleurs , il y a prise en compte des revenus pour une éventuelle baisse de la taxe .En réglant directement au propriétaire , vous paierez plus ( basée sur la résidence secondaire donc sans abattement )
Imaginez ( ça arrive ) , la taxe est au nom du propriétaire, vous lui payez une partie.Ensuite, il fait une réclamation aux impôts disant qu'il a un locataire.
La taxe à son nom est annulée et est établie au nom du locataire.

Le locataire n'a plus que ses yeux pour pleurer, il devra batailler pour récupérer ce qu'il aura versé à tort au propriétaire

La logique voudrait 2/12 au prorata.
Elle est du par le l'occupant au 1er janvier normalement.