Contrat de bail verbale

Bonjour,

Je me poser la question suivante :

Actuellement j occupe un appartement avec ma chérie, nous avons un contrat oral avec le bailleur, le truc c'est qu'on voudrais déménager on a trouvé un autre appartement beaucoup mieux, mais pour réservé celui-ci on a du signer le bail.

Il nous reste depuis aujourd'hui jusqu'au 1 er juin sa fera pas 3 mois a l'avance. Le bailleur peut-il faire quelque chose ? demander 2 loyer supplémentaire ? c'est sa parole contre la mienne ? merci