Licenciement Travailleur Handicapé de 19ans

Bonjour,
Après une formation AFPA de 2 mois, j'ai été embauché dans une banque en tant que chargé d'accueil et Travailleur Handicapé (ce n'est pas un accident du travail, mais une pathologie physique). Mon mois d'essai étant concluant, je commençais donc mon année d'alternance, mais mon problème physique, de par les douleurs qu'il occasionne, c'est accentué au point de ne plus pouvoir assurer mes fonctions. Donc j'ai finalement travailler 1 mois et demi pour 3mois et demi d'arrêt de travail à ce jour.
J'ai 19 ans et auparavant j'étais cuisinier mais je n'ai pas eu le temps d'exercer beaucoup dans cette profession car mes soucis de santé commençaient à se révéler.
Je n'ai donc pas de cumul d'heures de travail suffisant pour prétendre à quelques indemnités que ce soit.

Aujourd'hui, je m'aperçois que je ne peux pas continuer mon travail en banque, ma responsable me dit d'envoyer aux dirigeants une lettre de licenciement.

Ne connaissant pas tous mes droits je me dirige vers ce forum.

Dois-je envoyer une lettre de licenciement ou est-ce la banque qui doit faire cette démarche, autrement quelle autre démarche dois-je faire pour ne pas être pénalisé ?
De plus, j'ai contracté la mutuelle de la banque, puis-je la garder si je ne suis plus employé ?