Fuite d'eau en copropriété venant de dessus

Bonjour,

Propriétaire d'un appartement dans une copropriété,
une pièce de mon appartement a subi un dégât des eaux
par une infiltration venant du plafond.
J'ai demandé au syndic de faire une recherche de fuite.

Le rapport a conclu que l'origine de la fuite est due
à une fuite privative dans l'appartement d'au dessus, sur l'écoulement d'un WC.

Le syndic a envoyé au propriétaire copie du rapport
en lui demandant de réparer et
de lui envoyer le justificatif de la réparation.

Mais par expérience avec ce même voisin,
je sais qu'il n'enverra de facture qu'après de multiples sommations,
et au bout de 5 ou 6 mois.

Or mon assureur, avant de m'indemniser, me demande
de produire la facture de réparation de l'origine de la fuite chez le voisin, et me dit que c'est à moi ou au syndic (la fuite traversant les parties communes)
de faire le nécessaire.
Le syndic me dit que c'est l'assurance que devrait s'en occuper.

Qui devrait se charger de se procurer la facture du voisin,
et quels sont les moyens pour le contraindre à fournir
une facture dans des délais raisonnables ?

Par ailleurs, tant que la facture n'a pas été fournie, je n'ai aucune garantie
que la fuite ne va pas reprendre, ce qui me bloque complètement dans
les dispositions à prendre.
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Dans le passé, une fuite démarrant de la même façon
avec même diagnostic initial s'est terminée par un procès :
après réparation, la fuite a repris par intermittences
avec des rémissions de plusieurs mois, et s'est étalée sur 4 ans.
la fuite provenant en fait d'un bac à douche
utilisé par intermittence par ce propriétaire avec lequel j'en suis à
une douzaine de dégâts des eaux.

Merci pour toute suggestkion