Agent administratif contractuelle

Bonjour,
Je suis actuellement standardiste dans un centre hospitalier depuis novembre 2008 en tant que contractuelle, 1 contrat de 1 mois, un contrat de 3 mois puis 5 mois et enfin 1 an qui se terminera en septembre. Je remplace une personne partit en retraite, puis-je demander de devenir stagiaire ? A quel moment ?
Par écrit ? Ils veulent me garder et me propose éventuellement d'augmenter mon temps de travail qui est de 70% car une de mes collègue part en retraite bientôt. Que dois je faire, c'est la premiere fois que je travaille dans la fonction public ? Merci.