Règlement testament

Bonjour,
Mon ex mari DCD en 2015 a fait un testament (meubles de l'appartement) en faveur de sa compagne, ils n'étaient ni pacsés, ni concubins.Nous avons eu ensemble 2 garçons.
Lors de la succession, la compagne de mon ex mari a renoncé au bénéfice du testament.
Le Notaire nous a donc informé que sans règlement du testament que la compagne de mon ex mari n'avait pas réglé, la succession n'avancerait pas.
Est ce légal ? à partir du moment où le testament est refusé doit on payer les frais de testament ? qui va les payer donc ? si c'est pas réglé la succession est elle bloquée ou bien est ce mes enfants qui vont devoir payer ?
Merci de vos bons soins, bien cordialement.