Peut on travailler avec une carte d'identité périmée ?

Oui. Vous devez pouvoir présenter des documents d'identité valides, et pas seulement à votre employeur

" Vous devez pouvoir présenter des documents d'identité valides " : tout à fait.
Mais la CNI n'est pas le seul document officiel prouvant l'identité d'une personne.
d'autres sont largement acceptés par les autorités d'État : ► https://lemagdelaconso.ouest-france.fr/dossier-841-papiers-identite-officiels-acceptes-france.html
Donc à plus forte raison par un employeur privé...

Par ailleurs, il n'est légalement pas obligatoire d'être en possession d'une CNI, périmée ou pas, les textes prévoyant que chacun peut prouver son identité "par tout moyen".

Donc a priori, oui, on peut travailler avec une CNI périmée : son absence ou sa péremption ne sont légalement pas des obstacles à une vie normale, pourquoi le serait-elle pour accéder à un emploi ?