Lettre d'engagement ou contrat

Bonjour !

Depuis fin 2019, ma mère emploie une aide ménagère à domicile rémunérée par le Cesu à raison de 6 heures par semaine.

Lors de l'embauche de cette personne, ma mère n'a pas établi de contrat écrit, seulement un contrat oral et une simple lettre d'engagement qui précise les conditions de travail et la rémunération. (uniquement signée par ma mère) 

Est-ce que cette lettre d'engagement peut faire office d'un contrat ? 

Je précise (sauf erreur de ma part) que les contrats/Cesu n'étaient pas encore obligatoires fin 2019 pour très peu d'heures. Ils le seraient depuis Mai 2023.

Merci pour votre réponse.

Cordialement.