Partir en voyage/Parent divorcé

Bonjour,
Mes deux parents sont séparés depuis quasiment 1 an et ma mère est celle qui nous garde depuis.
Ma mère a prévu depuis un certain temps de partir en voyage avec ma petite sœur. Mon père avait accepté et il devait donner donner une autorisation écrite mais il a décidé de se retirer et refuse de donner l'autorisation à cause d'un accrochage immature avec ma mère. Est-il tout de même possible que ma mère parte en voyage avec ma sœur sans l'autorisation écrite si jamais elle a une preuve que ma sœur est bien sa fille et qu'elle habite avec elle ? Nous ne possédons pas de livret de famille.