Etat des lieux de sortie: faux et usage de faux?

Bonjour
Je sollicite vos conseils svp,tout d'abord je vous expose la situation point par point chronologiquement:
-Ma mère est décédée le 20 avril 2020 suite à un cancer.Elle occupait le logement depuis 2016.

-Le bailleur social Habitat nous dit par tel qu'il n'y aura pas d'état des lieux de sortie,mais qu'en contrepartie nous récupérerions pas le dépôt de garantie.On leur dit qu'on n'est pas d'accord car c'est leur choix de pas faire d'EDLS pas le nôtre.Ce à quoi ils nous répondent qu'on récupérera le dépôt de garantie sous 1 ou 2 mois.
On leur demande également comment rendre les clefs le jour où on aura vidé l'appartement.Ils nous répondent qu'on a qu'à mettre les clés dans la boîte aux lettres de l'agence.

-Après le 11 mai,nous déménageons l'appartement.Impossible de le déménager avant à cause du confinement.

-Vers le 23 mai,une fois l'appart vidé nettoyé et les compteurs relevés,nous déposons une enveloppe contenant les clés et un mot avec nos coordonnées dans la boîte aux lettres de l'agence comme convenu par tel avec la secrétaire d'Habitat.
Le lendemain,on reçoit par mail la confirmation comme quoi ils ont bien récupéré les clés.

-Quelques jours après,Habitat nous appelle pour nous dire qu'on n'a pas rendu les clés.On leur répond que "ça m'étonnerait car on a reçu un mail de la part de la secrétaire disant que vous aviez bien récupéré les clés.Il faudrait voir avec elle ce qu'elle a fait des clés".Ils répondent à cela que la secrétaire en question vient de partir en congé.(Heureusement qu'on a le mail comme preuve).

-Fin juin début juillet,ma soeur reçoit par mail un état des lieux de sortie qui a été fait le 19 juin.On leur demande des explications car ils nous avaient dit qu'il n'y en aurait pas.Ce à quoi ils répondent qu'on n'a pas à s'inquiéter,et que c'est juste par principe qu'il a été fait.

-Sauf que plusieurs choses ne vont pas avec l'état des lieux de sortie:
La 1ère chose c'est que nous n'avons pas été prévenu ni par mail ni par tel pour convenir d'un RDV pour effectuer l'état des lieux avec eux.Alors qu'ils avaient bien nos coordonnées.

La 2ème c'est qu'il est indiqué sur l'état des lieux qu'il a été fait en présence de ma mère (alors qu'elle est décédée depuis le 20 avril).De plus,le comble c'est qu'ils mettent "déménagement pour cause décès" (quelque chose du genre) sur l'EDLS.

La 3ème c'est qu'il est indiqué que le papier peint de la chambre de ma mère n'est pas en bon état car jauni.Ce qui est faux car nous avons changé le papier 2-3 jours avant de rendre les clés,et il s'avère que le papier peint est de couleur...jaune pâle.

La 4ème c'est qu'il est indiqué qu'il manque une clé de cave parmi toutes les clés.Hors nous avons bien compté avant de rendre les clés.(Mais on se demande si ce n'est pas une stratégie de leur part par rapport au fait qu'ils n'ont pas réussi à nous mettre sur le dos qu'on n'avait pas remis les clés dans la boîte de l'agence).

La 5ème c'est qu'il est indiqué des dégradations ou vétustés à certains endroits de l'appartement.Hors je ne pense pas que ma mère avait établi une grille de vétusté lors de l'état des lieux entrant...

Et enfin la 6ème chose pour terminer,on a également reçu une quittance de loyer d'un montant de 250 eur avec marquée dessus "charges diverses".Ont-ils le droit de mettre "charges diverses" sans détailler? Car on ne sait même pas combien de charges d'eau (l'eau froide était comprise dans les charges) on a payé exactement.On ne sait pas non plus s'ils nous ont bien compté un loyer du 20 avril (date de décès qui met fin au bail automatiquement) jusqu'au 23 mai.

Voici donc mes questions:
1) Habitat avait-il le droit de mettre que l'EDLS a été fait en présence de ma mère alors que ce n'est pas vrai?

2) Avait-il le droit de faire un EDLS sans nous prévenir au préalable qu'ils allaient finalement en faire un après le confinement et si on voulait le faire avec eux? (Malheureusement on ne peut pas prouver qu'ils nous avaient dit par tel qu'il n'y en aurait pas et tout ce qui s'ensuit,mais on peut peut-être prouver qu'ils ne nous ont jamais contacté pour convenir d'un RDV pour faire l'EDLS avec eux).De plus,un EDLS envoyé par mail est-il légal si ce dernier n'est pas accompagné de photos en pièces jointes?

3) Ont-ils le droit de nous facturer ou déduire quoi que ce soit du dépôt de garantie (clé manquante,papier déchiré,poussière etc) étant donné que l'EDLS a été fait sans qu'on nous prévienne au préalable et étant donné qu'il n'y a aucun montant d'indiqué pour chacune des constations écrites sur l'EDLS?

Car en principe les clés sont rendus le jour de l'EDLS afin de constater ensemble (bailleur + héritier) le nombre de clés total,l'état de l'appart etc...Alors que là,vu qu'on a rendu les clés le 23 mai,Habitat peut très bien avoir perdu cette clé et sali l'appartement entre le 23 mai et le 19 juin (date de l'EDL de sortie).
De plus,est-ce qu'ils ne doivent pas prouver que nous sommes bien responsable des constatations écrites sur l'EDLS? Car rien ne prouve que nous n'avons pas rendu toutes les clés etc à part leurs dires.

4) Puis-je demander le remboursement d'une partie du loyer facturé du 20 avril au 23 mai à partir du moment que ce n'est pas à cause de nous que nous n'avons pas rendu l'appart bien plus tôt,mais à cause du confinement?

5) Par rapport à tout ça,puis-je porter plainte contre Habitat pour faux et usage de faux (en particulier en faisant jouer la soi-disant présence de ma mère décédée le jour de l'EDLS) même si on récupère bien la totalité du dépôt de garantie et que l'EDLS a effectivement été fait par principe?

Si la réponse est oui,vais-je payer des frais d'avocat s'il n'y a que moi qui porte plainte et pas ma soeur? Car je touche les minimas sociaux mais ma soeur touche un peu plus du smic.

Et puis-je demander des dommages et indemnités à Habitat même s'ils disent qu'ils ont fait une erreur involontaire en remplissant l'EDLS ? J'ai vu que ça pouvait aller jusqu'à une amende de 45000 voir 75000 eur pour faux et usage de faux.

Merci d'avance de vos retours.

PS:Je n'ai pas encore signé l'EDLS (on a 7 jours je crois).Je n'ai pas contacté Habitat pour leur dire tout ce qui ne va pas (la présence de ma mère le jour de l'EDLS etc) pour éviter qu'ils refassent un autre document d'EDLS en bonne et dûe forme.Et je n'ai pas contacté non plus les services de médiation/conciliation car je pense qu'ils sont plus de leur côté que de celui des locataires.Et moi je n'ai aucune envie qu'ils s'en sortent gratuitement.Ça serait trop facile.