Clause mobilité, mutation

Bonjour à tous,
Je suis en cdi depuis 10 mois dans une société à paris.
Je précise que Dans mon contrat il y avait une clause de mobilité.
Lorsque j’avais signé mon contrat, je n’avais pas été informé que ma société avait été rachetée par un groupe situé dans le sud ouest.
Aujourd’hui j’apprends que je vais être muté là bas, et que si je refuse il envisagerons un licenciement.
Je précise que je suis une mère célibataire avec deux enfants en garde alternée.
C’est d’ailleurs une situation qu’il connaissais bien, car j’ai effectué plusieurs déplacement pour dés formation et celle-ci se faisait en fonction de la garde de mes enfants.
Je suis depuis plus de 15 jours en arrêt maladie, et j’ai d’ailleurs reçu ce courrier 2 jrs après mon arrêt.
Mes questions sont les suivantes :
Sachant que je refuse cette mutation pour le motif situation familiale. Peuvent-ils me
Licencier pour faute ?

Il m’oblige à leurs répondre à une date précise sinon il coïncidèrent que c’est un accord de ma part.
Étant en maladie est-ce que je suis tenue de leur répondre ?

Merci pour les réponses que vous pourrez m’apporter

Cordialement,