Licenciement d'un salarié pour faute, risque du responsable hiérarchique

Bonjour,

Je suis manager débutant d'une équipe de 3 collaborateurs. Cette équipe avait un "manager absent" pendant 10 ans.
Un collaborateur pose problème depuis plusieurs mois, et malgré les rappels oraux, un rappel écrit, un entretien avec le D.G suivi d'un avertissement formel, le salarié continue dans sa voie:
- pauses qui dépassent la demi-heure (la convention collective ne prévoit aucune pause)
- non respect de la hiérarchie : il envoyait des emails la nuit a certain directeur pour critiquer ou se plaindre, ce qui a mené à son avertissement
- harcèlement : il m'envoie, la nuit et sur mon téléphone perso, des SMS critiquant ma façon de manager, des menaces si je change pas de manière de faire... Notamment il me menace de harcèlement car je lui reproche systématiquement d'arriver en retard et ses pauses.

Notre directeur financier me prévient que, même si manifestement c'est le salarié qui est en tort, le juge pourrait considérer que la faute m'incombe car je n'ai pas su le "recadrer".

De mon point de vue, si un salarié commet des fautes avérées et répétées, ce n'est pas de la faute de l'employeur de ne pas avoir su l'en empêcher.

Qu'en pensez-vous ?