Fin CDD et attestation assedic

Bonjour,

j'ai travaillé de Septembre 2016 à Juin 2017 en CDD (pour remplacement de congé maternité) dans un hôpital (fonction public donc, mais non pas fonctionnaire).
J'ai eu trois CDD :
- début septembre à fin décembre
- début janvier à fin avril
- début mai à fin juin

Fin Avril mon employeur m'annonce (par lettre écrite en intra) qu'il souhaite renouveler mon contrat jusqu'à fin Juillet. Seulement n'étant pas originaire de la région et n'étant venu que pour les 6 mois qu'ils m'avaient annoncer à l'embauche, je ne pouvais pas rester (dû au logement qui s'arrêtait fin Juin). Je leur dit donc (par téléphone) que je peux rester mais jusqu'à fin Juin, non pas fin juillet. Ils acceptent alors, je signe donc un contrat du 01 Mai au 27 Juin (que j'honore jusqu'au bout).

PS : aucune clause de renouvellement dans le contrat

Aujourd'hui, je reçois mes attestions employeurs pour les assedic.
Deux :
- Une de Septembre à Décembre, case cochée : fin de contrat
- Une de Janvier à Juin : case cochée : rupture anticipée du salarié ??????!!!!!!!!!!

Je les appel. Motif : "nous vous avons fait une proposition jusqu'à fin Juillet, vous n'avez pas accepter donc c'est une rupture anticipée !".

Question :
Est-il légale qu'ils déclarent que j'ai fait une rupture anticipée, alors que j'ai bien un contrat CDD jusqu'à fin Juin, sous prétexte que j'ai refusé de rester jusqu'à fin Juillet ?

Etant donné que j'ai bien un contrat signé jusqu'à fin Juin, les assedic peuvent elles me refuser le droit à l'allocation, si je le leur présente, sous prétexte que l'employeur à fait une fausse ? déclaration ?

Quel recours puis-je avoir si l'employeur refuse de refaire cette attestation ? (ils attendent le retour de la DRH en vacance pour savoir quoi faire).

Merci d'avance pour vos réponses.
(J'angoisse de me retrouver dans la m**** à cause de ***** qui m'ont fait galérer jusqu'au bout ...)