Société américaine me somme d'arrêter activité

Bonjour à tous,

J'explique en deux mots, j'ai crée il y a un peu moins de 6 mois une société et via cette société j'ai lancé un site internet qui vend des cravates funky sous forme d'abonnement. En anglais monthly funky ties . Nous avons acheté le nom de domaine qui va avec et nous n'avons cependant pas crée de marque étant donné que nous ne nous positionnons pas vraiment comme une marque de cravate mais comme un service qui envoie des cravates a ses abonnées sur une base récurrente.

Même si nous faisons fabriquer la cravate en elle même l'idée n'était pas de se positionner comme une marque de cravate. en tout cas pas dès le départ.

Aujourd'hui après environs 6 mois, nous recevons un email de la part d'une société avec en fichier attaché une lettre qui me demande de cesser toute activité car une marque déposée au états unis "funky ties" le demande.

Ma première question : Est ce qu'ils ont le droit de nous demander d'arrêter étant donné que nous somme basé en France.

Ma seconde question : Est ce que je devrais déposer la marque en france au moins ?

Merci d'avance pour votre aide.