Préavis et lettre de démission

Bonjour,
j'ai remis ma lettre de démission hier en précisant dessus la durée de mon préavis (15j pour un salarié de moins de 6mois) et la date de mon départ définitif : le 30.05.
Mon employeur a signé cette lettre et a inscrit la date de remise en main propre dessus.
Plus tard il m'a été signalé par oral que la durée de mon préavis était inexacte car selon la convention collective elle doit être de 1mois.
J'ai déjà établi un contrat de pré recrutement avec mon futur employeur qui débute au 3juin, j'ai donc cherché un accord avec mon employeur afin d'écourter cette période de préavis mais ce dernier refuse et me propose de poser des congés afin de raccourcir cette période ce qui serait illégal.
Je n'ai reçu aucune notification écrite qui précise que ma lettre de démission n'est pas valable et je possède un exemplaire signé...
La date de départ inscrite sur la lettre peut elle être considérée comme acceptée par mon employeur dans ce cas?
Merci de vos réponses car j'ai peur de me retrouver sans emploi si je doit effectué la totalité du préavis....