Démission et demande de rupture préavis

Bonjour,
Je viens de démissionner au cours de mon congé parental et je rencontre quelques difficultés avec mon futur ancien employeur, j'ai donc besoin de vos avis sur ce qui m'arrive :

Le 14 septembre dernier : je passe un entretien pour un poste débutant le 17 septembre et je suis prise à condition bien évidemment que mon futur ancien employeur accepte de me dispenser de mon préavis d'un mois. J'appelle donc immédiatement mon directeur général pour lui demander qu'il m'en dispense. Sa réponse "c'est d'accord envoyez moi un mail". Je prévient immédiatement mon futur employeur que c'est bon et j'envoi mon mail à mon futur ancien employeur mais je n'obtient aucune réponse le 14 septembre.

Le 15 septembre : j'appelle mon directeur général qui n'est pas là. Je m'entretien donc avec mon directeur des ressources humaines et lui demande s'il est d'accord que je passe dans la journée pour lui remettre ma démission en main propre étant donné que j'ai l'accord verbal de mon directeur général. Refus de sa part; je dois envoyer un courrier en recommandé. Je m'exécute mais mon courrier n'a pu partir que le 17 septembre. Je reçois dans l'après-midi une réponse par courriel de mon directeur général qui est d'accord pour valider mon départ au 15 septembre avec dispense d'effectuer mon préavis dès qu'ils auront reçu ma lettre recommandée

Le 17 septembre : tant pis je commence à mon nouveau travail.

Le 18 septembre : je reçois un mail de mon futur ancien employeur qui ne peut pas accepter ma démission car je n'ai pas signé mon courrier (en effet courrier non signé de ma main car envoyé en recommandé via le site de la poste. Je n'ai donc pas imprimé mon courrier pour le signer et pour le scanner ensuite et l'envoyer).

Le 19 septembre : je renvoi donc une deuxième fois mon courrier de démission signé par recommandé.

Le 24 septembre : je reçois la confirmation de ma démission avec la dispense de préavis mais avec une validation de démission au 21 septembre et non plus au 15 septembre comme convenu avec mon directeur général.

J'ai donc commencé un nouveau travail au 17 septembre alors que j'étais encore sous contrat avec mon futur ancien employeur. Croyez-vous que je puisse avoir des problèmes avec mon nouvel employeur, mon futur ancien employeur ou quelqu'un d'autre, à cause de ces 5 jours où j'ai cumulé deux contrats alors que j'étais en congé parental pour mon futur ancien employeur ?

Merci pour votre aide, j'espère avoir été assez claire dans mes explications.