Un abandon de poste infondé

Bonjour,

Voici le dilemme dans lequel je me trouve...
Il y a trois jour, je reçois une lettre de mon employeur m'accusant d'un abandon de poste, cette lettre, je l'a reçois trois semaine après les faits.

Donc je remonte trois semaines avant, ma situation est la suivante, je suis en contrat CDD pour trois mois ,ma période d'essai établie sur mon contrat est de 13 jours , lorsque j'arrive à cette échéance ma responsable me donne aucun entretient à savoir si elle me garde ou pas. Celle ci me rétorque qu'on ne juge pas des compétences de quelqu'un en seulement 13 jours, et me propose de finir le mois (en clair le convertir en mois d'essai). Gentille et voulant faire confiance, j'approuve.

Le jour J j'ai un entretient, elle me fais part qu'elle ne veux pas me garder et je lui rétorque que de mon coté je comptais pas rester. Ma responsable me remercie gentiment, me précise que je peux partir quand bon me semble, maintenant, ou même dans 2 mois ,histoire de finir mon CDD.
Aucun écrit ne sortira de cet entretient, juste ce que je considère comme un licenciement à l'amiable fait de manière verbale, un accord commun de rupture de contrat. Je suis accusé d'un abandon de poste qui n'en ai pas un, puisque il y a accord commun, ma responsable nie les faits, et le meilleur est à venir lorsque je l'ai appelé pour avoir des explications, celle-ci me rétorqua que je n'étais plus en période d'essai, et qu'il fallais lire mon contrat! joli manipulation n'est-ce pas ?

J'ai donc répondu à leur lettre, fait part de mon indignation face à tant de mauvaise foi, prévenant aussi que j'entamerai des procédures auprès des prud'hommes si je venais à recevoir une nouvelle lettre.

Je reçois leur réponse, avouant :
"nous avons convenu ensemble que le contrat de travail à durée déterminée ne pouvait être maintenu et nous avons donc décidé, d'un commun accord, d'y mettre fin. " et plus loin une contradiction : "Il est rappelé qu'il est possible que Mlle P***** ne puisse pas bénéficier du régime d'assurance chômage, comme dans le cas d'une demission . Par la présente, la société **** et Mlle P***** renoncent d'un commun accord, à toute action ou instance de quelque nature que ce soit qui pourrait résulter de la rupture du présent contrat."
Ceci à retourner signer pour recevoir mon certificat de travail, solde de tout compte et attestation assedic.

Voila ce que j'en pense, non seulement je me fais accusé d'un abandon de poste infondé, et après il y a ce culot de la part de mon employeur d'avouer que effectivement il y avais accord commun, mais cela passera pour une démission?!

Si j'ai rien compris vraiment dites-moi parce que là je trouve que c'est du n'importe quoi. Cette lettre dit le tout et son contraire.

Désolé pour l'énorme pavé, mais je veux être le plus précise possible, j'attends votre opinion, j'en ai besoin.
Que dois-je faire?
Merci d'avance