Réparation demandée par locataire qui part

Bonjour,

Nous avons donné congé pour vente à notre locataire dans les formes et délais par voie d'huissier : il part dons dans moins de deux mois maintenant. Il ne fait pas usage de son droit de préemption.

Il nous envoie un courrier nous demandant des travaux à exécuter sans délai faute de quoi le logement serait indécent.
Quelles sont nos obligations sachant qu'il nous menace du tribunal d'instance sans avoir jamais demandé ces travaux auparavant ?

Nous pensions qu'il devait préalablement nous demander d'exécuter les dits travaux dans un délai de deux mois : mais comme il part dans un mois et demi comment pourrions nous faire ?

Il évoque entre autres une toiture qui fuit depuis plusieurs années... Que penserait un juge de sa requete si tardive ? En plus peut-il saisir le tribunal ou une commission quelconque sans nous avoir avisé au préalable des travaux demandés ?

Il est en place depuis plusieurs années et à chaque fois qu'il nous a avisés d'un désordre quelconque nous avons la preuve (compte-tenu des dates de ses courriers et de celles des factures) que nous avons répondu à ses demandes dans un délai de 1 à 2 mois.

Nous sommes très inquiets à l'idée d'une éventuelle action en justice ou d'un classement en logement indécent. Merci de nous aider