Problème cotisation assurance chômage

Bonjour,

Je me tourne vers vous car je suis un peu dans une impasse.
Il y a quelques années, j'avais travaillé en tant assistant d'éducation dans le public.
A cette époque, le pôle emploi m'indemnisait quand je finissais mes contrats.
Cette année, j'ai travaillé quelques mois en tant que contractuel (prof anglais) mais pour l'enseignement privé (DDEC).
1er problème : je n'ai pas tous mes bulletins de paie. Je n'ai pas mes bulletins depuis le mois de mai.
2e problème : mes bulletins (les rares que j'ai) sont illisibles, je veux dire que je n'ai pas d'heures de notées, ils me font parfois un bulletin pour deux mois. Là, il y a problème puisqu'ils versent des acomptes, reprennent de l'argent au final je ne sais jamais combien je touche vraiment et mes bulletins ne sont pas clairs. J'avais appelé la comptable qui elle-même n'était pas capable de m'expliquer. De plus, je ne sais pas si mes heures supplémentaires m'ont été payées.
3e problème : j'ai réalisé que sur mon bulletin il n'y avait pas de cotisation Assedic, première fois que je vois ça. Je suppose que c'est le Rectorat qui devra ou pas (car souvent ils ne veulent pas ) m'indemniser. Or je suis dans un cas un peu particulier.

Je me pose donc plusieurs questions, en effet, je suis restée inscrite au Pôle Emploi qui m'indemnisait lorsque j'étais à temps partiel (reliquat de droits d'années précédentes). Je sais qu'il me reste 197 jours d'indemnisation Pôle Emploi mais comment cela se passe-t-il ? Est-ce qu'ils vont arrêter de m'indemniser pour que je demande au Rectorat de prendre la suite alors que j'ai encore un reliquat. Ou Pôle Emploi va-t-il attendre que mon reliquat soit épuisé et me dire de me tourner vers le Rectorat ensuite?
Je viens de recevoir ma feuille Unedic de la DDEC, dessus je vois des indemnités compensatrices de congés payés. Pôle Emploi va-t-il me suspendre mes indemnités au vu de cela et combien de temps. Sachant que je n'ai pas travaillé en août et que je l'ai déclaré lors de l'actualisation. Cependant, je ne savais pas que j'avais des indemnités puisque pas de bulletins, ni de certificat de travail.
En gros, j'aimerais savoir si je peux rester indemnisé par Pôle Emploi jusqu'à la fin de mon reliquat (en espérant retrouver un travail avant) de droits et passer ensuite sur le Rectorat si besoin est ? Ou vont-ils me dire on arrête et vous voyez avec le Rectorat. Sachant que vu le peu de sérieux et le manque de considération et la précarité du travail chez la DDEC, je ne veux pas retravailler pour eux. Le problème étant qu'ils vont vérifier mes recherches d'emploi si ce sont eux qui m'indemnisent et je ne veux pas travailler pour eux. Aucun avenir, payé en deça du smic, précarité, payé en décalage de deux mois.....

Pour être clair, actuellement indemnisé par Pôle Emploi, à l'envoi de ma feuille Unedic, vais-je être obligé de demander au Rectorat de m'indemniser ou puis-je rester sur mon reliquat Pôle Emploi jusqu'à l'épuisement de mes droits et ensuite demander à la DDEC de me prendre en charge si je n'ai pas retrouvé d'emploi d'ici là.

Cela me fait un peu peur sachant que pendant les 2 premiers mois durant lesquels j'ai travaillé pour eux je n'ai rien perçu.

Merci pour vos réponses.