Rupture de période d'essai - Plusieurs questions

Bonjour,

J'ai été embauché en CDD de 6 mois (selon le contrat). Malheureusement, la première semaine j'ai eu des soucis de transports indépendants de ma volonté, allant de 10 à 20 minutes et à chaque fois j'ai prévenu mon responsable hiérarchique. 

À la fin de ma période d'essai, j'ai été notifié par remise de courrier en mains propres que ma période d'essai était rompue. Mon responsable hiérarchique m'a avancé en face à face comme seul et unique motif les trop nopmbreux retards à ses yeux. Cependant cette raison n'est pas donnée dans la lettre. (je sais que ce n'est pas obligatoire) Il n'a mentionné à aucun moment mon manque de compétence. 

Je n'ai pas eu de remontrance officielle quant à ces retards ni même aucune remarque concernant quoi que ce soit.

J'ai plusieurs questions à ce sujet

1) Dans ma lettre de notifications de rupture de période d'essai, il est écrit que j'ai été embauché par contrat à durée INDÉTERMINÉE, alors que mon contrat de travail et mes différents documents stipulaient bien que j'étais en CDD : Puis-je me servir de cette erreur pour demander réparation ?

2) J'ai lu sur le net qu'il était interdit de motiver la rupture de période d'essai par d'autres motifs sur le manque de compétence. (https://adelprorh.fr/comment-eviter-les-contentieux-lies-a-la-periode-dessai/)

Cependant il ne m'a mentionné que oralement la motivation de cette rupture due au retards. Est-ce que je peux le piéger en lui faisant avouer par écrit, par exemple si je feins de m'excuser et de le supplier et qu'il me répond quelque chose comme "désolé mais les retards c'est redhibitoire" pourrais-je me servir de ce mail pour obtenir réparation ?

" De même, la rupture n’a en principe pas besoin d’être motivée. En revanche, elle doit être motivée si elle est un caractère fautif (puisque par définition le salarié voit sa période d’essai rompu pour une faute et non une simple incompétence à son poste) ou si la convention collective impose le contraire."

https://www.village-justice.com/articles/rupture-periode-essai-abusive-quelles-indemnites,47203.html#:~:text=D%27une%20manière%20générale%2C%20l,d%27une%20volonté%20de%20nuire

3) Ma période de CDD est définie de 6 mois par le contrat de travail. Elle s'étend cependant du 4 d'un mois au 7 d'un autre, donc 6 mois et 3 jours en fait. Quel durée s'applique ? Car il est indiqué 6 mois partout, sur l'offre d'annonce, sur le contrat. Car si c'est seulement 6 mois, ils n'ont pas le droit de me faire faire une période d'essai de 1 mois renouvelable 1 fois, je suppose ? Donc je voudrais savoir si c'est bien 6 mois ou si ces 3 jours font la différence (j'ai compté, cela fait 27 semaines) 

(un mois civil  (c'est-à-dire du 23 au 22 du mois suivant par exemple) si le contrat fait plus de six mois calendaires.
Ne soyez pas tentés cependant de faire un contrat de 6 mois et quelques jours juste dans le but de doubler la période d'essai! Si rien ne le justifie réellement, le juge pourrait considérer qu'il y a une volonté évidente de frauder la loi (Cass. soc. 10 décembre 1992, n°89-44.421 ) https://www.easycdd.com/Legislation/Rediger/La-periode-d-essai/Calculer-la-periode-d-essai-d-un-CDD

4) Ma lettre de notification de rupture de période d'essai est écrite comme cela suit (j'ai enlevé les parties inutiles) : "Nous vous avons embauché par contrat à durée interminée en date du 4 Décembre 2023, prévoyant une période d'essai de 1 mois arrivant à échéance le 3 Janvier. Vous cesserez donc de faire partie de la sociêté au terme du délai de prévenance conventionnel de 2 jours, dont la réception de la présente marque le point de départ."

Ma question : Ils m'ont prévenu le 2 Janvier à 13H, donc le délai de prévenance de 2 jours se finit bien le 4 Janvier, soit après la période d'essai, donc c'est pas en règle ? Ou ais-je mal compris quelque chose ?

5) J'ai aussi lu sur internet que le contrat de travail devait mentionner le nom et l'adresse de la caisse de retrait et de prévoyance, cependant il n'y a aucune indication sur ces 2 choses dans me contrat de travail, est-ce un motif pour demander réparation ?

Je vous remercie d'avance pour toute votre aide, cordialement.