Pas de contrat de travail, abandon de poste.

Bonjour, 

J'ai travaillé pendant 6 jours (04 octobre 2022 au 09 octobre 2022) en tant que Barista/employé polyvalent sans avoir signé de contrat de travail. (Malgré plusieurs insistances de ma part, l'employeur a toujours repoussé au lendemain puis à la semaine prochaine). 

J'ai décidé de faire un abandon de poste suite aux abus à répétition de l'employeur (7h30 sans pause, enchaînement fermeture/ouverture, 42h pour un "contrat" de 35, aucune formation propre - tout juste une présentation des lieux, ... ) et ne me suis pas presenter la semaine suivante. J'ai fais signé mes horaires de la main de l'employeur au cas où.

Je reçoit un courrier de l'employeur les jours suivant disant comme tel : 

[...] Vous avez pris votre poste en tant que serveur/barman et votre contrat est toujours en attente de signature. 

Cette semaine, vous ne vous êtes pas présenté au travail [...] Conformément au termes de votre contrat de travail du 4 octobre 2022, nous vous signifions ce jour, mettre fin à la période d'essai, qui s'achèvera à la fin de votre préavis, le 14 octobre 2022 [...]

D'après ses dires, il m'aurait déclaré à l'URSSAF mais je n'en ai aucune preuve. Je pense quand même être payer début mois prochain mais je n'ai que les horaires signées comme preuve.

Sans signature de contrat, ne suis-je pas en CDI par default, sans préavis ?L'employeur a t'il le droit d'agir de la sorte ? Pourrais-je toucher les allocations chômage dans cette situation ? (Ayant plus de deux ans de travail à un autre établissement jusqu'en mai 2022) Est ce que je peux reprendre un travail dans l'immédiat ou non ?