La CAF refuse de me verser un mois d'APL manquant

Bonjour,
Ma CAF refuse de me verser un mois d'APL dû
Voici le contexte:
Je dépendais de la CAF d'un département dans le sud de l'ile de France ( dont je ne vais pas donner le nom). Mes droits s'étendent sur la période septembre 2020 à Décembre 2020 (4 Mois d'APL au total).
Au moment du traitement de dossier, la CAF a versé mes prestations à mon bailleur ( résidence étudiante). Ce dernier n'a pas pu me verser mes APL car selon le règlement interne de cette résidence, il est interdit de transférer les APL aux étudiants qui n'y habitent plus. (petite précision: je n'ai résidé que 4 mois dans ce campus, et au moment de versements d'APL je n'y était plus)
Donc, mon bailleur a décidé de rembourser tout à la CAF et avait bien indiqué que j'étais locataire de Septembre 2020 à Décembre 2020.
La CAF a effectivement reçu les virements, et ne m'a versé directement sur mon compte bancaire que 3 mois d'APL au lieu de 4.
Je les contacte de nouveau: je leur demande des explications. Leur réponse est la suivante: selon eux, il y a un mois d'APL qui n'a pas était retourné par le bailleur à la CAF.
Je recontacte ainsi mon ancien bailleur et lui demande de refaire une vérification: Il m'a confirmé avoir tout remboursé et il m'a même transmis des documents qui le prouvent (avec signature et tampon de la résidence étudiante) .
Je recontacte la CAF et leur explique que le bailleur a tout remboursé et je leur donne même les dates de virements qu'il a effectué et ses justificatifs . La CAF insiste alors et me dit qu'il manque un virement qu'ils n'arrivent pas à retracer dans leur systèmes.
Je leur demande de se rapprocher de mon bailleur, ce qu'ils n'ont pas fais .
Je les recontacte de nouveau, et toujours la fameuse réponse: déposez vos justificatifs via l'adresse mail "transmettreundocument.caf...." et attendez 6 à 8 semaines de traitement: Oui je veux bien attendre, mais là j'attends depuis une année le versements de mes droits .... ( une autre précision: pourquoi ils me demandent de les contacter via l'adresse mail ""transmettreundocument.caf" ? Parce que mon dossier est radié car je ne dépends plus de leur organisme et donc je ne peux plus leur envoyer des messages via mon compte perso CAF)
J'ai tout les justificatifs nécessaires. Pourtant les agents/techniciens de la CAF refusent de prendre au sérieux ma demande bien que je suis sur qu'ils ont un problème dans leur système.
La résidence étudiante ne peux pas mentir. Ils m'ont fourni tout les justificatifs nécessaires car je leur ai indiqué ma volanté de porter plainte pour litige. Par contre, la CAF ne fais aucun effort pour essayer de résoudre mon problème à l'amiable
Ainsi que faire dans cette situation, je suis bloqué. Ils me doivent un mois de droit, selon eux c'est la bailleur qu'il l'a, les documents prouvent le contraire, que faire ?