Arrêt de travail suite à une faute professionnelle

Bonjour,

Je viens solliciter vos conseils suite à un "litige". Un collègue a été "pris" en train de regarder des jeux vidéos sur le lieu de travail et son temps de travail. Il le faisait tous les jours et en permanence, en même temps qu'il réalisait ses missions. Nous nous sommes rendus compte d'ailleurs qu'il faisait énormément d'erreurs dans son travail. Le PDG lui avait déjà demandé d'arrêter, sans avertissement dans un premier temps.

Ce collègue a continué, à la vue de tous, et surtout à la vue des nouvelles recrues de l'équipe. Sachant cela, le PDG lui a mis un premier avertissement et est revenu sur sa décision de l'augmenter. Ce collègue l'a mal pris, n'a pas assumé et s'est mis en arrêt maladie au bout de quelques jours (jours durant lesquels nous avons eu le droit à une bouderie de tous les diables, aucun bonjour, etc.).

Ce collègue demande soit un licenciement économique ou une rupture conventionnelle, mais ne veut pas démissionner, sinon il perd ses droits au chômage. La Direction ne souhaite pas accorder une rupture conventionnelle, et le licenciement économique est impossible, puisqu'il faut pouvoir le prouver, et rien ne vient appuyer ce motif.
Nous sommes donc "bloqués" dans cette situation. Que faire ?

En vous remerciant par avance ;
Cordialement ;