Mon bureau est en Angleterre mais je souhaite travailler de la France

Bonjour,
Je suis actuellement employé par une société américaine dont le siège Europe est en Angleterre, mais qui dispose de filiales en France. J'ai un contrat anglais.
Dans le contexte actuel (Brexit, Covid 19...) , je souhaite retrouver un cadre de vie plus agréable et travailler en remote depuis Bordeaux. Ma particularité est que j'ai de fréquents déplacements à l'étranger. Je serai donc amener à être à mon bureau anglais 20% du temps seulement.
Je ne sais donc pas quel est le meilleur contexte légal? Dois-je demander à être rattaché à la filiale française? Comment éviter le prélèvement à la source en Angleterre? Ai-je intérêt à garder mon salaire en Livre sterling et le convertir en Euro dans le sens où mon logement sera en France?
Pouvez vous m'aider ? Ou sinon, me dire quel organisme pourrait le faire?

Merci beaucoup d'avance,