Relocalisation avant fin de préavis

Bonjour,
J'ai habité dans un studio meublé dans un résidence étudiant pendant 2 ans à Ile de France. J'ai donné mon preavis pour quitter l'appartement le 13 Janvier 2020 et on a fixé un rdv de 31 Janvier pour l'etat des lieux et demenegement. Pour certaines raisons je ne pouvais pas avoir les clés du nouvel appartement avant le 31 janvier (le Vendredi) et j'ai donc informé la résidence étudiante que je reporterais mon etat des lieux. la résidence étudiante m'a envoyé un mail me disant qu'elle avait déjà pris une réservation pour quelqu'un pour mon appartement. Pour cette raison, j'ai débrouillé et j'ai fait etat de lieux et j'ai quitté l'appartement le 1er février. Maintenant, la résidence étudiante m'a envoyé une facture à payer pour le reste des jours avant la fin de mes pré-avis disant qu'ils se sont trompés et en fait il n'y a pas de nouveau locataire. J'ai l'impression qu'ils mentent et ils veulent avoir deux fidèles en même temps pour le même appartement. Dans ce cas, que puis-je faire pour savoir la vérité et ne pas payer le reste du préavis s'il y a un nouveau locataire.

Merci en avance pour votre suggestions.

Cordialement