Peut on préciser la date de départ après l'envoi du préavis ?

Bonjour,

Je viens de faire l'objet d'un licenciement économique et je dois quitter mon logement pour reprendre un nouvel emploi qui m'impose un déménagement. Mon délai de préavis est donc fixé à un mois. Par correction, J'ai adressé à l'avance ma lettre de préavis le 05/12/16 à l'agence immobilière en précisant mon départ comme suit : " au plus tard le 31/01/2017".
J'attendais la signature de mon nouveau bail et de mon nouveau contrat de travail pour fixer la date effective de mon départ de mon logement actuel.
Le 23/12/2016 j'ai adressé un mail à l'agence immobilière pour lui indiquer de retenir cette date du 23/01/2016 comme celle de mon départ. L'agence n'ayant pas accusé réception de ce mail, j'ai décidé le 26/01/2016 de la contacter téléphoniquement afin de m'assurer que tout se passerait correctement, mais voilà que l'agence refuse d'accepter cette date comme celle du départ et veut m'imposer le 31/01/2016 pour fin de bail et me demande le loyer complet et le maintien de l'assurance habitation jusqu'au 31/01/2016.

J'ai donc rédigé ce 26/01/2016 un courrier que j'ai remis en main propre à l'agence contre signature indiquant mon départ au 26/01/201 et j'ai demandé un rendez vous pour état des lieux pour ce même jour.

Pourriez vous me dire si j'étais en droit de repréciser ma date de départ dans les conditions décrites ci-dessus et si la mention "au plus tard" fait que la date n'était pas définitivement fixée et me ramène donc à la date de réception de mon courrier par l'agence ? ou bien faudra t-il retenir celle du 31/01/2016 comme le prétend l'agent immobilier ?

Merci pour votre aide.

Cordialement