Renouvellement contractuels

Bonjour,
Je suis employée dans la fonction publique territoriale au poste d'enseignante artistique depuis septembre 2011. Je suis contractuelle, et le concours de titularisation dans ma branche n'a pas eu lieu depuis plusieurs années et n'est pas prévu dans les 2 ans à venir. En juin dernier, ma collectivité m'a annoncé qu'ils ne pouvaient pas renouveler mon contrat. En septembre, aucun titulaire ne s'est présenté et j'ai signé un prolongement de 6 mois, allant jusqu'en mars prochain. On m'informe qu'il n'y a plus de solution pour me garder. Sachant qu'il n'y a pas de titulaire, et que ma direction souhaite me garder, n'y a-t-il aucune solution?
Merci de votre réponse