Rupture conventionnelle et nouvel emploi

Bonjour,
Actuellement en congé parental, je viens de signer avec mon employeur une rupture conventionnelle de mon CDI.
D'après les délais, la rupture devrait être effective et homologuer le 21 avril s'il n'y a pas de retard;
En parallèle, je viens de recevoir une promesse d'embauche en CDI commençant le 20 avril, ce poste me convient parfaitement, je ne peux donc pas le laissé passer.
La date d'embauche est difficilement modifiable, ce nouvel employeur a déjà beaucoup reculer à ma demande.
Il y a t'il des solutions? Ai-je le droit de commencer mon nouvel emploi avant la fin de la RC (à 1 ou 2 jours près) Ou Dois-je démissionner pour être disponible le 20 avril?
Ou encore y a t'il des possibilités pour commencer mon nouvel emploi à la date prévue et signer le contrat quelques jours après?
Merci pour votre réponse.