Rupture d'avenant contrat cdd

Bonjour à tous,

J'ai grandement besoin de conseil, je travaille actuellement pour une entreprise avec laquelle j'ai signé un contrat cdd d'un mois et une semaine, celui-ci à pris fin au 31 août dernier.

De là, l'entreprise m'a proposé un avenant à ce même contrat pour une période de 4 mois (de septembre à décembre), mais au bout de quelques jours une très grande incompatibilité d'humeur avec ma collègue de travail s'est installé.
Pour ce fait, j'ai décider de ne pas donner suite à cette avenant, à ce jour je n'ai rien signé.
J'ai proposé à ma direction de me refaire un avenant du 1er au 13 Septembre (demain), cette proposition a été accepté.

Seulement, quand je suis arrivé cet après-midi pour prendre les fonctions de mon poste, ma collègue de travail m'a demandé de lui écrire une lettre de démission, me disant que la comptabilité lui avait demandé de faire cela pour que je puisse prétendre à mes droits.
A ce sujet j'ai un grand doute, car il me semble que si je lui fait cette lettre de démission je ne pourrais ni prétendre à mes indemnités de fin de contrat, ni à mes droits auprès du pôle emploi.

Je ne sais pas comment me tirer cette épine du pied, je dois effectuer ma dernière journée demain et dans l'état actuel des choses, je n'ai pas signé d'avenant donc rien qui prouve que j'ai bien travaillé pour cette entreprise depuis 15 jours. Et je ne veux pas écrire cette lettre de démission.

J'ai vraiment besoin d'aide afin d'arriver demain à mon travail avec des réponses pour défendre au mieux mes droits.

Merci à tous par avance de vos réponses.