Attestation employeur : pas OK avec le motif de rupture

Bonjour,

Je me retrouve dans une situation un peu compliquée, je n'ai trouvé de réponses à mes questions nulle part sur internet...

J'étais embauchée en CDD pour un remplacement congé maternité pour une durée de 4 mois dans la société A. Au bout de 3 mois, la personne en congé maternité que je remplaçais à prolongé son congé maternité en congé parental (5 mois de plus). Mon patron m'a donc proposé de prolonger mon CDD. Mais de mon côté j'avais déjà trouvé un futur poste en CDI dans la société B, j'ai donc refusé et je lui ai demandé si je pouvais quitter cet emploi plus tôt car mon futur patron (société B) me voulait au plus tôt, et mon patron actuel (société A) devait de toute façon recruter à nouveau quelqu'un. Il lui suffisait simplement de chercher quelqu'un pour plus tôt. J'ai donc quitté mon emploi (société A) 3 semaines avant la fin effective de mon CDD pour le CDI (société B).
Lorsque j'ai commencé mon nouvel emploi (société B), ça ne s'est pas bien passé du tout (je vous passe les détails) et finalement, le patron ne m'a pas gardé à la fin de ma période d'essai.

Je me retrouve donc au chômage (un mois avant j'avais le choix entre deux emplois, la vie est parfois mal faite...).

Sur l'attestation employeur destinée à Pôle Emploi, la société A a indiqué comme motif de rupture "rupture anticipée à l'initiative du salarié". A cause de cette information je n'ai pas le droit au chômage.
Cependant, je ne suis pas d'accord avec ce motif, pour moi c'est "rupture anticipée d'un commun accord". Le soucis c'est que lorsqu'on s'est mis d'accord sur le fait que je pourrais quitter plus tôt l'entreprise, ils m'ont demandé un écrit attestant que je souhaitais quitter la société à telle date. Est-ce que ça vaut lettre de démission?
J'ai déjà demandé à la société A de modifier le motif de la rupture, je n'ai pas eu de réponse de leur part...
Qu'est-ce que je peux faire? Quel recours je peux avoir si je ne suis pas d'accord sur le motif de la rupture inscrite?

Ca fait 1 mois que je suis au chômage sans revenus, et comme tout le monde le sait, trouver un emploi c'est de plus en plus dur. Pour patienter, j'ai postulé pour des jobs sans qualification (ce n'est pas péjoratif) mais je n'ai eu que des réponses négatives ou pas de réponse du tout.

Je remercie par avance tout ceux qui me répondrons et souhaite bon courage à tous ceux qui sont au chômage comme moi.