Voiture perso et assurance déplacements pro

Bonjour,
J'ai une assurance pour mon véhicule personnel pour les trajets privés et domicile-travail.
Mon employeur me demande régulièrement d'effectuer des trajets intra-agglomération pour des besoins de services. rien n'est stipulé dans mon contrat de travail à ce sujet.
Depuis 4 ans que je rale, il a enfin consenti à me donner un papier d'autorisation d'usage de véhicule personnel...
Sauf que sur ce papier, je suis sensée donner mon numéro de police d'assurance pour garantir que je suis assurée selon des disposition de l 'article 31 en matière d'assurance qui dit que je dois souscrire une assurance garantissant ma responsabilité personnelle d'une manière illimitée.
Bref, ce n'est qu'un papier pour dire que j'ai le droit de prendre mon véhicule perso.....
Or, ce n'est pas du tout ce que je demandais !
Si je comprends bien, il faudrait que je change mon assurance pour déclarer des trajets proffessionnels, et donc payer une surprime d'assurance, tout en gardant à ma charge les frais de déplacements (essence + usure du véhicule) ?
Est-ce légal ? Ai-je les moyens d'obliger mon employeur à me défrayer ces déplacements qui étaient avant relativement occasionels et proches (la plupart du temps, sur mon trajet domicile-travail, ou en très proche agglomération), et qui deviennent de plus en plus fréquent et lointains (on me parle maintenant d'aller à plusieurs 10aines de km, voire dans le département voisin) ?
Merci pour votre aide !